यदि int {{e^{{x^2}}}left( {2 - frac{1}{{{x^2} | vedclass

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Question

(A) हमें दिया गया है कि $\int e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = e^{x^2} f(x) + C$. माना $I = \int e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right)

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(A) हमें दिया गया है कि $\int e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = e^{x^2} f(x) + C$. माना $I = \int e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) dx$. हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं: $e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) = e^{x^2} \left( 2x \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right)$. यदि हम $f(x) = \frac{1}{x}$ लें,तो $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ होगा। अब,$\frac{d}{dx} [e^{x^2} f(x)] = e^{x^2} (2x) f(x) + e^{x^2} f'(x) = e^{x^2} [2x f(x) + f'(x)]$. दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,$2x f(x) + f'(x) = 2 - \frac{1}{x^2}$. यदि $f(x) = \frac{1}{x}$ है,तो $2x(\frac{1}{x}) + (-\frac{1}{x^2}) = 2 - \frac{1}{x^2}$,जो सत्य है। अतः,$f(x) = \frac{1}{x} + k$. चूंकि $f(\frac{1}{2}) = 2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{1}{1/2} + k = 2 \implies 2 + k = 2 \implies k = 0$. इस प्रकार,$f(x) = \frac{1}{x}$. अतः,$f(1) = \frac{1}{1} = 1$.

यदि $\int {{e^{{x^2}}}\left( {2 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx = {e^{{x^2}}}f(x) + C} $ और $f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2$ है,तो $f(1)$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

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